数学メモ帳

なんかとりあえず数学する

例をあげるだけ

今回は例を上げろと言われたら役に立つかもしれないメモです. その1 完備でない無限次元ノルムベクトル空間 念のため,ノルム空間等の定義は私の記事 troy-sugaku-t.hatenablog.com に書いてあります. まぁ,記事を改めて読み直すほどのものでもないので,さっ…

ひとくち数学「Γ関数は階乗の拡張?」

Γ関数 以下適当に複素解析の基本的な話は既知として話を進めます. まずはとりあえず定義からいきましょう. Definition(\(\Gamma\)関数)\(s\in\mathbb{C}\)として,\(\Re (s)>0\)とするとき,\[\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-t}\ dt\] と定義する. pro…

ひとくち数学「Rouchéの定理による代数学の基本定理」

今回はタイトルのとおりみんな大好き代数学の基本定理です. なお今回は複素解析の基本的な知識(極とか複素積分とかその辺)に関しては知ってるものとして話を進めます. まずひとつ定義から始めましょう. Definition(有理型)複素関数\(f(z)\)が領域\(D\)で有…

なんか適当に数学する5

\(\ell^p\)の可分性 今回は\(\ell^p\)の可分性について軽く触れたいと思います.その前に定義を書きます. Definition(Dense)\(V\)をベクトル空間とし,\(\|\cdot\|\)をV上のノルムとするとき,\(A\subset V\)が\(\|\cdot\|\)に関して稠密(Dence)であるとは,\[\f…

何か適当に数学する4

\(\ell^p\)の完備性 今回は,\(\ell^p\)の完備性について触れたいのですが,その前に今更ですが復習も兼ねて色々と基本事項を確認しましょう. Definition(Vector Space) \(V\)がベクトル空間(Vector Space)であるとは,\(V\)上で定義された加法に関してアーベル…

何か適当に数学する3

Minkowski inequality 今回は\(\ell^p\)版三角不等式Minkowskiの不等式を示しますが,この形のものは非常に特別な形で実際はもっと一般化できることは少しコメントしておきます. まぁ,それはまたその時が来たらでいいのでとりあえず次を示しましょう. Theorem…

なんか適当に数学する2

Hölder's inequality 今回から\(\ell^p\)について具体的に調べていこうと思います. 今回はMinkowskiの不等式に利用する Hölderの不等式についてみていきましょう. Theorem(Hölder's inequality)\(1\leq p<\infty\), \(x=\{x_i\}_{i=1}^{\infty},\ y=\{y_i\}_…

なんか適当に数学する

\(\ell^p\)について適当に とりあえず,思いついたことをかいていけばいいかなぁと思いつつやります. Definition\(1\leq p<\infty\)に対して,\[\ell^p= \Bigl\{\{x_i\}_{i=1}^{\infty};\ \sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i\mid^p <\infty\Bigr\}\] と定義し,\(\ell…

テスト

-テスト- パソコン関係は苦手なのでとりあえずテスト. 定理\(p(z)=\sum_{i=1}^n c_ix^i+c_0,\ c_i\in\mathbb{C}\ (i=1,\cdots n)\)とするとき, \(p(z)=0\)は少なくともひとつ解を持つ. proof 証明は容易であるので読者の演習課題とする.\(\Box\)