数学メモ帳

なんかとりあえず数学する

複素解析覚書き4-正則関数を調べるその1

前回は円型のCauchyの積分公式を証明して終わりました. 今回はこのCauchyの積分公式から導かれる正則関数の強力な性質についてやっていきましょう. 正則関数の定義において,\(C^1\)級を仮定していませんでしたが,次の定理により\(C^1\)級どころか何回でも微…

複素解析覚書き3-Cauchyの積分定理の補足とか

前回はCauchyの積分定理の特別なバージョンについては証明しました. 今回は正則関数の複素積分をより広い範囲でできるようにすることから始めましょう. 前回凸領域上の正則関数は原始関数を持つことを証明しました.今回はこれを使い連続曲線(PSとは限らない)…

ひとくち数学「ディリクレ積分をゴリゴリっと計算する」

Problem次の積分を求めよ.\[\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\ dx\] 今回はディリクレ積分について最近色んな方法を知ったので今回はなるべく前提知識を仮定しない方法でどれだけできるかを試したいと思います. 基本的なこととして,これはみればわかります…

複素解析覚書き2-積分定理とか

今回は複素線積分について適当に話します. その前に正則関数の定義から行きましょう. Definition複素関数\(f\)が点\(z_0\)で正則であるとは,ある\(r>0\)が存在して,\(z_0\)の\(r\)近傍\(U_r(z_0)=\{z;\ \mid z-z_0\mid

複素解析覚書き1-複素数の定義とか

最近,複素解析もまた忘れてきてるなーと思ったので使いそうなものを覚書き.内容は面白いものでもないかもですが ということでまずは複素数の定義から. ここでは複素数をある程度数学的にまともな定義を与えたい気がするので,そうします. 定義は様々あります…

ひとくち数学「次元の話」

// 3次元は立体で2次元は平面で・・・なんて説明はここ最近だとよく耳にします.まぁそれこそ二次元という言葉も今では馴染みのある言葉になりました. そんな直感的にはなんとなく理解している次元ですが,数学的にはどのように定義されるのでしょうか?という…

ひとくち数学:表現行列の話

表現行列 // Definition\(V,\ W\)を有限次元複素ベクトル空間とし,\(T\colon V\to W\)を線形写像,\(\{v_1,\ \cdots v_n\},\ \{w_1,\ \cdots w_m\}\)を\(V,\ W\)の基底とする.このとき,\(n\times m\)行列\(A\)で\[(T(v_1)\ T(v_2)\cdots T(v_n))=(w_1\ \cdots…

掛け算作用素の話をしたかった その3

前回は掛け算作用素を定義しました. Review\(|F(x)|\)がa.e有限な\(\mathbb{R}^N\)上のボレル可測関数\(F\)とする.このとき,\(L(\mathbb{R}^N)\)から自身への線形作用素\(M_F\)を\[\forall f\in L^2(\mathbb{R}^N),(M_Ff)(x)=F(x)f(x)\ a.e.x\]と定義する.た…

掛け算作用素の話をしたかった(準備その2)

書いたはいいけど存在忘れそう. 今回は線形作用素について必要最低限述べて行こうと思います. 線形作用素という文字だけ見るとなんか難しそうかもしれませんが別にたいしたことないです. ここではヒルベルト空間に限っておきますが,別にBanach空間でも変わり…

掛け算作用素の話をしたかった

掛け算作用素の話をしたい ブログすらかく暇なかった(言い訳). 今回から掛け算作用素とかいうシンプルだけど割と大事な作用素を扱ってみたいと思います. コイツの話は結構Lebesgue積分の復習にもなるのでお得だと思うので,暇なら読んでみてください. ところ…

例をあげるだけ

今回は例を上げろと言われたら役に立つかもしれないメモです. その1 完備でない無限次元ノルムベクトル空間 念のため,ノルム空間等の定義は私の記事 troy-sugaku-t.hatenablog.com に書いてあります. まぁ,記事を改めて読み直すほどのものでもないので,さっ…

ひとくち数学「Γ関数は階乗の拡張?」

Γ関数 以下適当に複素解析の基本的な話は既知として話を進めます. まずはとりあえず定義からいきましょう. Definition(\(\Gamma\)関数)\(s\in\mathbb{C}\)として,\(\Re (s)>0\)とするとき,\[\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-t}\ dt\] と定義する. pro…

ひとくち数学「Rouchéの定理による代数学の基本定理」

今回はタイトルのとおりみんな大好き代数学の基本定理です. なお今回は複素解析の基本的な知識(極とか複素積分とかその辺)に関しては知ってるものとして話を進めます. まずひとつ定義から始めましょう. Definition(有理型)複素関数\(f(z)\)が領域\(D\)で有…

なんか適当に数学する5

\(\ell^p\)の可分性 今回は\(\ell^p\)の可分性について軽く触れたいと思います.その前に定義を書きます. Definition(Dense)\(V\)をベクトル空間とし,\(\|\cdot\|\)をV上のノルムとするとき,\(A\subset V\)が\(\|\cdot\|\)に関して稠密(Dence)であるとは,\[\f…

何か適当に数学する4

\(\ell^p\)の完備性 今回は,\(\ell^p\)の完備性について触れたいのですが,その前に今更ですが復習も兼ねて色々と基本事項を確認しましょう. Definition(Vector Space) \(V\)がベクトル空間(Vector Space)であるとは,\(V\)上で定義された加法に関してアーベル…

何か適当に数学する3

Minkowski inequality 今回は\(\ell^p\)版三角不等式Minkowskiの不等式を示しますが,この形のものは非常に特別な形で実際はもっと一般化できることは少しコメントしておきます. まぁ,それはまたその時が来たらでいいのでとりあえず次を示しましょう. Theorem…

なんか適当に数学する2

Hölder's inequality 今回から\(\ell^p\)について具体的に調べていこうと思います. 今回はMinkowskiの不等式に利用する Hölderの不等式についてみていきましょう. Theorem(Hölder's inequality)\(1\leq p<\infty\), \(x=\{x_i\}_{i=1}^{\infty},\ y=\{y_i\}_…

なんか適当に数学する

\(\ell^p\)について適当に とりあえず,思いついたことをかいていけばいいかなぁと思いつつやります. Definition\(1\leq p<\infty\)に対して,\[\ell^p= \Bigl\{\{x_i\}_{i=1}^{\infty};\ \sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i\mid^p <\infty\Bigr\}\] と定義し,\(\ell…

テスト

-テスト- パソコン関係は苦手なのでとりあえずテスト. 定理\(p(z)=\sum_{i=1}^n c_ix^i+c_0,\ c_i\in\mathbb{C}\ (i=1,\cdots n)\)とするとき, \(p(z)=0\)は少なくともひとつ解を持つ. proof 証明は容易であるので読者の演習課題とする.\(\Box\)