数学メモ帳

なんかとりあえず数学する

ひとくち数学

ひとくち数学「ディリクレ積分をゴリゴリっと計算する」

Problem次の積分を求めよ.\[\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\ dx\] 今回はディリクレ積分について最近色んな方法を知ったので今回はなるべく前提知識を仮定しない方法でどれだけできるかを試したいと思います. 基本的なこととして,これはみればわかります…

ひとくち数学「次元の話」

// 3次元は立体で2次元は平面で・・・なんて説明はここ最近だとよく耳にします.まぁそれこそ二次元という言葉も今では馴染みのある言葉になりました. そんな直感的にはなんとなく理解している次元ですが,数学的にはどのように定義されるのでしょうか?という…

ひとくち数学:表現行列の話

表現行列 // Definition\(V,\ W\)を有限次元複素ベクトル空間とし,\(T\colon V\to W\)を線形写像,\(\{v_1,\ \cdots v_n\},\ \{w_1,\ \cdots w_m\}\)を\(V,\ W\)の基底とする.このとき,\(n\times m\)行列\(A\)で\[(T(v_1)\ T(v_2)\cdots T(v_n))=(w_1\ \cdots…

ひとくち数学「Γ関数は階乗の拡張?」

Γ関数 以下適当に複素解析の基本的な話は既知として話を進めます. まずはとりあえず定義からいきましょう. Definition(\(\Gamma\)関数)\(s\in\mathbb{C}\)として,\(\Re (s)>0\)とするとき,\[\Gamma(s)=\int_{0}^{\infty}t^{s-1}e^{-t}\ dt\] と定義する. pro…

ひとくち数学「Rouchéの定理による代数学の基本定理」

今回はタイトルのとおりみんな大好き代数学の基本定理です. なお今回は複素解析の基本的な知識(極とか複素積分とかその辺)に関しては知ってるものとして話を進めます. まずひとつ定義から始めましょう. Definition(有理型)複素関数\(f(z)\)が領域\(D\)で有…