前回は正則関数の基本的な定理を示しましたので、今回は複素解析における強い定理をやっていきましょう.まぁCauchyの積分定理が一番強いんですけどね. まず,簡単なこととして次を示します. Lemma \(D\)を領域として,定関数でない\(D\)上正則な関数\(f\)があ…

前回は円型のCauchyの積分公式を証明して終わりました. 今回はこのCauchyの積分公式から導かれる正則関数の強力な性質についてやっていきましょう. 正則関数の定義において,\(C^1\)級を仮定していませんでしたが,次の定理により\(C^1\)級どころか何回でも微…

前回はCauchyの積分定理の特別なバージョンについては証明しました. 今回は正則関数の複素積分をより広い範囲でできるようにすることから始めましょう. 前回凸領域上の正則関数は原始関数を持つことを証明しました.今回はこれを使い連続曲線(PSとは限らない)…

Problem次の積分を求めよ.\[\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}\ dx\] 今回はディリクレ積分について最近色んな方法を知ったので今回はなるべく前提知識を仮定しない方法でどれだけできるかを試したいと思います. 基本的なこととして,これはみればわかります…

今回は複素線積分について適当に話します. その前に正則関数の定義から行きましょう. Definition複素関数\(f\)が点\(z_0\)で正則であるとは,ある\(r>0\)が存在して,\(z_0\)の\(r\)近傍\(U_r(z_0)=\{z;\ \mid z-z_0\mid

最近,複素解析もまた忘れてきてるなーと思ったので使いそうなものを覚書き.内容は面白いものでもないかもですが ということでまずは複素数の定義から. ここでは複素数をある程度数学的にまともな定義を与えたい気がするので,そうします. 定義は様々あります…