ひとくち数学「Rouchéの定理による代数学の基本定理」
今回はタイトルのとおりみんな大好き代数学の基本定理です.
なお今回は複素解析の基本的な知識(極とか複素積分とかその辺)に関しては知ってるものとして話を進めます.
まずひとつ定義から始めましょう.
proof
これを頭に入れた上で次が成り立ちます.
上の定理が今回の主役のRouchéの定理です.本当はもうちょっと一般化できますが,今回はこれで十分なのでいいでしょう.一件使い道がわからない定理ですが,解の個数を調べるのに非常に便利です.
例えば,\(C\)を単位円の円周として,\(f(z)=4z^3,\ g(z)=z^7+z-1\)とすると,\(\mid z\mid =1\)ならば,\[\mid g(z)\mid\leq \mid z\mid ^7+\mid z\mid +1=3<4=4\mid z\mid^3=\mid f(z)\mid\] となるので,\(f(z)\)が\(0\)を重複度\(3\)の零点を持つので,\(z^7+4z^3+z-1=0\)は\(\mid z\mid <1\)で3つの解を持つことがわかります.
これをより一般化して次が成り立ちます:
proof
証明は非常に簡単です.
\(f(z)=z^n,\ g(z)=p(z)-f(z)\)と定義します.このとき,\(\mid z\mid >1\)ならば,\[\mid g(z)\mid\leq \mid a_{n-1}\mid\mid z\mid^{n-1}+\cdots +\mid a_1\mid\mid z\mid +\mid a_0\mid \leq nM\mid z\mid^{n-1}\ (M=\max_{1\leq k\leq n}\mid a_k\mid)\]
となります.よって,正の数\(R>0\)を\(R>\max\{1,\ nM\}\)となるように取ると,\(\mid z\mid >R\)ならば,\[\frac{\mid g(z)\mid }{\mid f(z)\mid}<\frac{nM}{R}<1\]が成り立ちます.
となって,これは\(\mid f(z)\mid>\mid g(z)\mid\)を意味し,\(f(z)\)は半径\(R\)の円盤の外で零点を持たないのでRouchéの定理より,\(p(z)\)も外側では零点持ちません.
その一方で,\(f(z)\)明らかに半径\(R\)の円盤内で零点を重複度を込めて丁度\(n\)個持つので,再びRouchéの定理より,\(p(z)\)は円盤内に\(n\)個の零点を持つことになってこれは結論を意味します. \(\Box\)
Liouvilleの定理を使って楽に証明できる代数学の基本定理ですが,Rouchéの定理での証明はあまりなかった?(一応wikipediaには載ってました)ぽいのでやってみました.
以上で終わります.読んでいただきありがとうございました.
間違い等ございましたらコメントかTwitterで指摘していただけると幸いです.
なんか適当に数学する5
\(\ell^p\)の可分性
今回は\(\ell^p\)の可分性について軽く触れたいと思います.その前に定義を書きます.
可分であるというのは上のように定義されますが,なぜ可分が重要であるかというと,\(\ell^2\)空間,つまり,\(p=2\)のとき,ヒルベルト空間(内積から定まるノルムに関して完備な空間)に実はなります.
そして,ヒルベルト空間において,完全正規直交系が取れることは保証されているのですが,それが可算個取れるかどうかというのは実はわからなくて,もし空間が可分であればそれが可算個で取れることが保証されます.
なので,可分性は割と大事なのですが,まぁ実は\(\ell^2\)の場合は具体的に超簡単に取れるので実はそんなに大したことはないんですけどね!
まぁとにかく可分性があるとちょっといいことがあるってことです.では証明ですが,次の事実を用います:
これは稠密性の定義を2回つかって三角不等式で押さえればできるので省略します.
では\(1\leq p<\infty\)のときの\(\ell^p\)の可分性を示しましょう.
step1 \(S=\{\{x_i\}_{i=1}^{\infty}\in\ell^p\mid 有限個のiを除き,x_i=0\}\) は\(\ell^p\)で稠密.
上で定義された集合\(S\)が稠密であること示します.
今,任意に\(x=\{x_i\}_{i=1}^{\infty}\in\ell^p\)をとります.このとき,各\(j\in\mathbb{N}\)に対し,
\[r_j=(x_1,\ x_2\cdots x_j,\ 0,\ 0\cdots)\] と定義すると,各\(j\)について明らかに\(\|r_j\|<\infty\)より,\(r_j\in\ell^p\)ですから,\(r_j\in S\)です.
今,\[\|x-r_j\|_{\ell^p}^p=\sum_{i=j+1}^{\infty}\mid x_i\mid^p\to 0\ (as\ j\to \infty)\] です.上の事実は,無限和が収束するので,\(\{\sum_{i=1}^N\mid x_i\mid^p\}_{N=1}^{\infty}\)がCauchy列であることからわかります.
以上より,\(S\)が\(\ell^p\)で稠密であることが示されました.
Step2 \(Q=\{\{q_i\}_{i=1}^{\infty}\mid 有限個を除き,q_i=0かつ,\forall i\in\mathbb{N},q_i\in\mathbb{Q}\}\)は\(S\)で稠密.
\(S\)の元\(r=\{r_i\}_{i=1}^{\infty}\)を任意にとります.ここで,\(r_i\neq 0\)となる\(i\)に対し,\(r_i\)は実数であるとしても一般性は失われません.
従って,実数のなので,有理数の稠密性から,各\(i\)に対して,\(q_j^{(j)}\to r_j\ (as\ j\to\infty)\)となる有理数列\(\{q_i^{(j)}\}_{j=1}^{\infty}\)が存在します.
よって,各\(j\)に対して,\(q_j=(q_1^{(j)},q_2^{(j)}\cdots)\)(ただし,\(r_i=0\)なる\(i\)については\(q_i^{(j)}=0\))と定義すれば,Step1と同様に明らかに\(q_j\in\ell^p\)であって,
\[\|r-q_j\|_{\ell^p}^p=\sum_{r_i\neq 0}\mid r_i- q_i^{(j)}\mid^p\to 0\ (as\ j\to \infty)\]
となるので,これは\(Q\)が\(S\)で稠密であることを意味します.また,\(Q\)は定義から明らかに可算集合ゆえ,Lemmaから\(\ell^p\)は可分であることがわかります. \(\Box\)
最後駆け足になりましたが,やってることは単純なので多分大丈夫だと思います.
ところで,実は可分な複素ヒルベルト空間で完全正規直交系の個数が加算無限個なものはヒルベルト空間の意味で\(\ell^2\)と同型になります.
時間があったら其の辺も紹介したかったのですが,ちょっと色々とめんどくさいのでこのへんで\(\ell^p\)の話は一旦終わりにして,次回はまた別の話を適当にしようかなと思います.
ということで,ここまで読んでいただきありがとうございました.
間違い等ございましたらコメントかTwitterにて指摘してくださると幸いです.
何か適当に数学する4
\(\ell^p\)の完備性
今回は,\(\ell^p\)の完備性について触れたいのですが,その前に今更ですが復習も兼ねて色々と基本事項を確認しましょう.
上では\(\cdot\)で書きましたが,省略することが多いです.また,スカラー倍が\(\mathbb{C}や\mathbb{R}\)でなく通常の体でも構いません.
また前回軽く述べましたが,\(\ell ^p\)は\(x=\{x_i\}_{i=1}^{\infty},\ y=\{y_i\}_{i=1}^{\infty}\in\ell^p,\ k\in\mathbb{C}\)に対して,
- 和\(\colon x+y=\{x_i+y_i\}_{i=1}^{\infty}\)
- スカラー倍\(\colon kx=\{kx_i\}_{i=1}^{\infty}\)
と定義すると,Minkowskiの不等式の時述べたように,きちんと和に関して閉じていて,スカラー倍も明らかに閉じているので,ベクトル空間となります.
次にノルムの定義についてです.
上の定義を見れば,こないだ定義した\(\ell^p\)-ノルムはきちんと\(\ell^p\)上のノルムになっていることがわかりますね.(三角不等式はMinkowskiの不等式そのものですし.)
形を見ると,絶対値の一般化みたいになっているのがわかるので,実数体のときと同様にCauchy列や収束列の定義がノルムベクトル空間ではできます.
従って,当然完備性を定義することができます.
Completeと聞くと何が完全なのかがよくわかりづらいですが,どちらかというとたっぷり詰まってるとか,満タンな状態と言ったほうが近いかもしれません.
とりあえず,基本事項は多分これだけで十分だと思いますので,いよいよ\(\ell^p\)の完備性を示していきましょう.
proof
証明ですが,Cauchy列を取らないと始まらないので,\(\ell^p\)上のCauchy列を\(\{x_n\}_{n=1}^{\infty}\)とします.
なぜわざわざ強調したかというと,これは初めてやる人にとっては非常に混乱の元だからです.\(\ell^p\)上のCauchy列ということは,列の項ひとつひとつが数列なんです.
だから第\(n\)項目\(x_n\)を取り出してみるとコイツ自身が数列なので,ちゃんと書くなら\(x_n=\{x_i^{(n)}\}_{i=1}^{\infty}\)という感じになっているわけですが,これではあまりにもややこしいので,
各\(n\in\mathbb{N}\)に対して,数列\(x_n\)の項は通常のベクトルと同じように,\(x_n=(x_1^{(n)},x_2^{(n)},\cdots )\)と書く事にして,
例えば\(x_n\)の1番目の項のことを\(n\)番目の第\(1\)成分ということにすれば,ごちゃつかないと思うのでそれでいきましょう.
さて,長々と注意したところで,まずCauchy列の定義から,
\[\forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb{N};\ \forall n,m\geq N\Rightarrow\|x_n-x_m\|_{\ell^p}<\varepsilon\] が成り立ちます.
ここで,\(j\in\mathbb{N}\)をひとつ固定します.このとき,上のことから次が成り立ちます: \[n,m\geq N\Rightarrow \mid x_j^{(n)}-x_j^{(m)}\mid=\Bigl(\mid x_j^{(n)}-x_j^{(m)}\mid^p\Bigr)^{\frac{1}{p}}\leq\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i^{(n)}-x_i^{(m)}\mid^p\Bigr)^{\frac{1}{p}}=\|x_n-x_m\|_{\ell^p}<\varepsilon\]
これは何を意味するかというと,ある番号\(N\)より先の\(n\)番目の第\(j\)成分と,\(m\)番目の第\(j\)成分の差が,任意の正の数\(\varepsilon\)で抑えられるということなのでつまり,\(\{x_j^{(n)}\}_{n=1}^{\infty}\)は\(\mathbb{C}\)上のCauchy列であるということになります.
大事なのは\(\mathbb{C}\)上のというところで,なぜならば,\(\mathbb{C}\)は完備なので,上の列,すなわち,1番目,2番目・・・とすべての列の第\(j\)成分を集めてきて並べた数列は収束列になります.
従って,各\(j\in\mathbb{N}\)に対して,ある\(x_j\in\mathbb{C}\)が存在して,\(x_j^{(n)}\to x_j\ (as\ n\to\infty)\)となります.
よって,これらをすべて1から並べたものを,\(x=(x_1,\ x_2\cdots )\)とします.実はこいつが最初にとったCauchy列の収束先になります.次はそれを示します.
step1:\(\|x-x_n\|_{\ell^p}\to 0\ (as\ n\to \infty)\)
まず,\(x_n\)が\(x\)に\(\|\cdot\|_{\ell^p}\)に関して,収束することを示します. 今,任意の\(k\in\mathbb{N}\)に対して,\[S_n(k)=\Bigl(\sum_{i=1}^{k}\mid x_i-x_i^{(n)}\mid^p\Bigr)^{\frac{1}{p}}\] と置き,\(n\geq N\)となるように任意に固定するとき, \[\Bigl(\sum_{i=1}^{k}\mid x_i^{(m)}-x_i^{(n)}\mid^p\Bigr)^{\frac{1}{p}}\to S_n(k)\ (as\ m\to\infty)\]
となるから,\[\Bigl(\sum_{i=1}^{k}\mid x_i^{(m)}-x_i^{(n)}\mid^p\Bigr)^{\frac{1}{p}}\leq\|x_m-x_n\|<\varepsilon\ (n,m\geq N)\] に注意すれば,任意の\(n\geq N\)に対し, \[s_n(k)\leq\varepsilon\] が成り立って.さらに,\(s_n(k)\leq s_n(k+1)\)より,\(k\)に関して,単調増加かつ,上に有界であるから,\(k\to\infty\)としたときに収束するので,上の関係式から, \[s_n(k)\to \Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i-x_i^{(n)}\mid^p\Bigr)^{\frac{1}{p}}=\|x-x_n\|_{\ell^p}\leq\varepsilon\] となって,これは\(\|x-x_n\|_{\ell^p}\to 0\ (as\ n\to \infty)\)を意味します.
step2:\(x\in\ell^p\)
上のことで多方話は終わったのですが,最後に\(x\in\ell^p\)を示す必要があります.ですがこれは簡単で,任意の\(k\in\mathbb{N}\)に対して,
\[\Bigl(\sum_{i=1}^{k}\mid x_i\mid^p\Bigr)^{\frac{1}{p}}\leq \Bigl(\sum_{i=1}^{k}\mid x_i-x_i^{(n)}\mid^p\Bigr)^{\frac{1}{p}}+\Bigl(\sum_{i=1}^{k}\mid x_i^{(n)}\mid^p\Bigr)^{\frac{1}{p}}\] がMinkowskiの不等式より成り立つので,両辺を\(k\to\infty\)とすれば, \[\|x\|_{\ell^p}\leq\|x-x_n\|_{\ell^p}+\|x_n\|_{\ell^p}<\infty\] となるので,以上より,\(x\in\ell^p\)がわかったので,\(\ell^p\)の完備性が示されたことになります. \(\Box\)
以上で,完備性については終わります.で,なんでこいつの話をしたかって言うと,コイツ自身も割とよく出てくるし大事ってのもあるんですが,本当は\(L^p\)をやろうと思ってたんですけど,測度の話をしていいのかよくわからなかったのでこれにしたというのが本音です.
次回は,せっかくなので\(\ell^p\)の可分性にでも触れようかなと思います.それではここまで読んでいただきありがとうございました.
間違い等ございましたらコメントかTwitterにて指摘してくださると幸いです.
何か適当に数学する3
Minkowski inequality
今回は\(\ell^p\)版三角不等式Minkowskiの不等式を示しますが,この形のものは非常に特別な形で実際はもっと一般化できることは少しコメントしておきます.
まぁ,それはまたその時が来たらでいいのでとりあえず次を示しましょう.
proof
証明ですが,まず,\(p=1\)の時はただの三角不等式になってしまいますので,それは除きます.
また,左辺が\(0\)の場合も明らかですので,これらすべてを除いた時のみを考えれば十分です.
まず,\(x^p\)の凸性を用います.すなわち,\(a,b>0\)とするとき,
\[\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr)^p\leq \frac{a^p+b^p}{2}\]
が成り立ちます.従って, \[\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i+y_i\mid^p\leq 2^{p-1}\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i\mid^p+\sum_{i=1}^{\infty}\mid y_i\mid^p\Bigr)<\infty\]
となって,前半の主張である,\(x+y\in\ell^p\)はわかります.
ところで,
\[\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i+y_i\mid^p=\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i+y_i\mid\mid x_i+y_i\mid^{p-1}\leq\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i\mid\mid x_i+y_i\mid^{p-1}+\sum_{i=1}^{\infty}\mid y_i\mid\mid x_i+y_i\mid^{p-1}\] なので,
Hölderの不等式から,\(\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\)を満たす,正の数\(q\)に対して, \[\leq\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i\mid^p\Bigr)^{\frac{1}{p}}\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i+y_i\mid^{q(p-1)}\Bigr)^{\frac{1}{q}}+\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid y_i\mid^p\Bigr)^{\frac{1}{p}}\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i+y_i\mid^{q(p-1)}\Bigr)^{\frac{1}{q}}\]
\(q(p-1)=p\)に注意すれば, \[=\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i+y_i\mid^p\Bigr)^{\frac{1}{q}}\Bigl[\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i\mid^p\Bigr)^{\frac{1}{p}}+\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i\mid^p\Bigr)^{\frac{1}{p}}\Bigr]\]
従って,両辺に \[\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i+y_i\mid^p\Bigr)^{-\frac{1}{q}}\] をかければ,結論の不等式が得られます. \(\Box\)
とまぁ,証明はこんな感じで終わります.
Hölderの不等式の使い方が中々強引ですが,やってること自体はただ脳筋で上から抑えただけですね.
でさっきも言いましたが,この不等式実はもっともっと一般化できて,最終的には測度に関する二重積分の形でかけるらしいです.
まぁ其の辺はまた使う機会があったらということにして,次回は\(\ell^p\)について考えていきましょう.
といったところで今日は終わります.読んでいただきありがとうございました.
間違い等がございましたら,コメントかTwitterにて指摘してくださると幸いです.
なんか適当に数学する2
Hölder's inequality
今回から\(\ell^p\)について具体的に調べていこうと思います.
今回はMinkowskiの不等式に利用する Hölderの不等式についてみていきましょう.
proof
証明はまず以下の不等式を示します\(\colon\)
\[ab\leq\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\ \ (a,b> 0)\tag{1}\]
この証明は簡単で,\(t\geq 0\)として, \[\phi(t)=\frac{t^p}{p}-t+\frac{1}{q}\] と定義すると,微分して増減を調べれば,この関数は\(t=1\)で最小値\(0\)をとり,それ以降は増加し続けます.
従って,\(t\geq 0\)ならば,\[\frac{t^p}{p}+\frac{1}{q}\geq t\] が得られ,\(a,\ b>0\)として,\(t=\frac{a}{b^{q-1}}\)とすれば\[\frac{a}{b^{q-1}}\leq\frac{1}{p}\frac{a^p}{b^{p(q-1)}}+\frac{1}{q}\]
\(p(q-1)=q\)に注意すると,両辺に\(b^q\)をかければ,(1)の不等式が得られます.
ここで,結論の不等式は,\(x,y\)のどちらか一方でも\(0\)になってしまうと明らかに両辺が0です.
また結論の右辺の\(y_i\)についての和が正の無限大に発散してしまう場合は明らかなので,そうでないとします.
このとき,各\(i\in\mathbb{N}\)に対して, \[a_i=\frac{\mid x_i\mid}{\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i\mid^p\Bigr)^{\frac{1}{p}}},\ b_i=\frac{\mid y_i\mid}{\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid y_i\mid^q\Bigr)^{\frac{1}{q}}}\]
とおけば,(1)の不等式より,\[\frac{\mid x_iy_i\mid}{\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i\mid^p\Bigr)^{\frac{1}{p}}\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid y_i\mid^q\Bigr)^{\frac{1}{q}}}\leq\frac{\mid x_i\mid^p}{\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i\mid^p\Bigr)}+\frac{\mid y_i\mid^q}{\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid y_i\mid^q\Bigr)}\]
となって,両辺をiに関して和を取ると,\[\frac{\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_iy_i\mid}{\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid x_i\mid^p\Bigr)^{\frac{1}{p}}\Bigl(\sum_{i=1}^{\infty}\mid y_i\mid^q\Bigr)^{\frac{1}{q}}}\leq \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1\] となって,両辺に左辺の分母をかければ結論が得られます. \(\Box\)
中々定数がややこしかったりしましたが,比較的無難に示せたと思います.といったところで今回はこれで終わりで,次回はMinkowskiの不等式を示します.
間違い等がございましたらコメントかTwitterにて指摘していただけると幸いです.