数学メモ帳

なんかとりあえず数学する

ひとくち数学「次元の話」

3次元は立体で2次元は平面で・・・なんて説明はここ最近だとよく耳にします.まぁそれこそ二次元という言葉も今では馴染みのある言葉になりました.

そんな直感的にはなんとなく理解している次元ですが,数学的にはどのように定義されるのでしょうか?ということで,今回も線形代数のお話です.

まず,次元を定義しておきましょう.

Definition

\((1)\) \(V\)を複素ベクトル空間とする.\(V\)のベクトルの集合\(\{x_i\}_{i\in I}\) (ただし添字集合\(\)は無限でもよい)が有限個の\(i\)に対して,\(\alpha_i\neq 0\)となるような複素数を係数として,\[\sum_{i\in I}\alpha_ix_i\]なる形式的無限和を 一次結合(線形結合)という. このとき,一次結合全体の空間\[\langle\{x_i\}_{i\in I}\rangle=\Bigl\{\sum_{i\in I}\alpha_ix_i\} \Bigr\}\]を\(\{x_i\}_{i\in I}\)が生成する部分空間(張る空間)という.

\((2)\)\[\sum_{i\in I}\alpha_ix_i=0\Rightarrow \forall i\in I,\ \alpha_i=0\]が成り立つ時,\(\{x_i\}_{i\in I}\)は一次独立または線形独立という.特に,\(L\subset V\)に対して,\(\{x\}_{x\in L}\)が一次独立となるとき,\(L\)は一次独立であるという.(だたし便宜上空集合は一次独立であるとする.)

\((3)\)\(\langle \{x_i\}_{i\in I}\rangle=V\)かつ一次独立であるとき,\(\{x_i\}_{i\in I}\)は\(V\)の基底であるという.

\((4)\)特に基底の元が有限個であるとき,\(V\)は有限次元であるという.またその基底の元の個数を\(V\)の次元といい,\(\dim V\)で表す.有限次元でないときは便宜上\(\dim V=\infty\)と表す.

 

ということで,これが次元の定義です.つまり基底の元の個数としたわけですね.ですが,この定義はきちんとされているのか問題があります.なぜなら

    ・そもそも基底なんてものは存在するのか?
    ・基底があったとしても,きちんと次元という値が1つに定まるのか?

という二つの問題があります.一つ目はそのままで,そもそも基底がなければこの定義は破綻します.なので必ず基底が取れるということをいう必要があります.二つ目は仮に基底が複数あったとして,基底の元の数が一致しなければ次元はひとつに定まらずこの定義は破綻してしまいます.

従って,今回はこれを頑張って示していこうってことになります.

まず基底の存在についてですね.

Theorem \(V\)を複素ベクトル空間とし,一次独立な\(V\)の部分空間\(U\)を含むような\(W\)によって\(V\)が生成されるとき,\[U\subset B\subset W\] を満たすような\(V\)の基底\(B\)が存在する.

Remark

\(U=\emptyset,\ W=V\)の場合でもよい.この時は\(V\)自身が基底であることを意味する.

proof

さて,証明ですが,Zorn補題を使います.今\[\mathcal{A}=\{B;\ U\subset B\subset V,\ かつBは一次独立\}\]とおきましょう.

この時,\(U\in\mathcal{A}\)であるから空でないです.

今,\(\mathcal{A}\)は集合の包含関係に関して半順序関係となるので,\(\mathcal{A}\)の全順序部分集合を\(\mathcal{B}\)とおきます.

このとき,\[B'=\bigcup_{B\in \mathcal{B}}B\]と定義すると,\(U\subset B'\subset V\)であるから,\(B'\)が一次独立であれば良いです.

ここで,\(B'\)の一次結合\(\sum\alpha_ix_i\)を考えると,各\(x_i\)は\(\mathcal{B}\)のある集合に属しますが,全順序部分集合なので,結局1つの集合にすべて属します.

従って,一次独立となり\(B'\)は上界であることがわかります.よって,Zorn補題より,極大元\(B\)が存在します.この\(B\)が基底であることを最後に示します.

取り方から一次独立であることは明らかなので,\(\langle B\rangle=V\)を示します.これは背理法によります.

すなわち,そうでないとすると,\(v\in V\setminus\langle B\rangle\)となる\(v\neq 0\)が存在します.これより,\(B\cup\{v\}\)は一次独立となりますが,これは極大元であることに矛盾します.

よって,生成される空間は\(V\)に一致して,基底であることがわかります. \(\Box\)

なお,\(W\)が有限の場合は明らかに極大元があるので,その場合はZorn補題は必要ないです.

さて、基底の存在がわかったところで,次の問題は基底の元の個数が一致するかどうかですね.ここからはすべて\(V\)の基底の元の個数は有限個としましょう.

Theorem \(V\)を複素ベクトル空間とし,\(n\)個のベクトルが\(V\)を生成するとき,\(V\)内で線形独立な元の個数は\(n\)以下である.

proof

\(n\)に関する帰納法によって示します.\(n=0\)のときは自明なので,\(n-1\)まで成立すると仮定しましょう.

すなわち,\(n-1\)個で生成されるベクトル空間\(V'\)で線形独立な元は\(n-1\)個以下であると仮定します.

今\(n\)のとき,\(V\)を生成するベクトルを\(\{x_i\}_{i=1}^n\)とし,\(\langle x_1,\cdots x_{n-1}\rangle=W\)としましょう.さて,\(n+1\)個のベクトル\(y_1,\cdots ,y_{n+1}\)が一次独立でないことを示しましょう.

とりあえず,\(x_1,\cdots x_n\)の一次結合で各\(y_j\)は表せるわけですが,これは結局ある\(y'_j\in W,\ \alpha_j\in \mathbb{C}\)があって,\[y_j=y'_j+\alpha_j x_n\]とかけることになります.

ここで帰納法の仮定により,\(y'_1,\cdots y'_{n+1}\)はすべて\(W\)の元なので,一次独立でないということになります.

もし,任意の\(j\)に対して,\(\alpha_j=0\)ならば主張が成り立つので,ある\(j\)があって,\(\alpha_j\neq0\)としましょう.

このとき,\[x_n=\alpha^{-1}_jy_j-\alpha^{-1}_jy'_j\]であり,\(i=1,\cdots n+1,\ i\neq j\)であるとすると,\[y_i-\alpha_i\alpha^{-1}_jy_j=y'_i\alpha_i\alpha^{-1}_jy'_j\]となります.

ということはまた右辺の方を\(w_i\)とでもおくと,\(W\)の元で\(n\)個ありますから一次独立でないです.

よって,これは\(y_1,\cdots y_{n+1}\)が一次独立でないことになります.(\(\{w_i\}\)が一次独立でない式を考え,式変形をするとわかります.)

故に,定理が成り立ちます. \(\Box\)

これの系として,次のことが成り立ちます.

corollary \(V\)を複素ベクトル空間とし,\(\{x_i\}_{i=1}^n,\ \{y_j\}_{j=1}^{m}\)を\(V\)の基底とするとき,\(n=m\)である.

proof

証明は簡単で,上の定理より,お互いに一次独立でかつ\(V\)を生成するので,\(n\leq m\)かつ\(m\leq n\)です.\(\Box\)

かくして,次元の定義が正当化されることになり,うまいこと次元が定義できました.次元というのも中々数学的に定義しようとすると手間ですねぇ

今回は線形代数の代数っぽいところについて書いてみました.以上で終わります.

ひとくち数学:表現行列の話

表現行列

 

Definition\(V,\ W\)を有限次元複素ベクトル空間とし,\(T\colon V\to W\)を線形写像,\(\{v_1,\ \cdots v_n\},\ \{w_1,\ \cdots w_m\}\)を\(V,\ W\)の基底とする.このとき,\(n\times m\)行列\(A\)で\[(T(v_1)\ T(v_2)\cdots T(v_n))=(w_1\ \cdots w_m)A\]を満たす行列を基底\(\{v_1,\ \cdots v_n\}\)と\( \{w_1,\ \cdots w_m\}\)に関する\(T\)の表現行列という.

唐突に定義から始まりましたが今日は線形代数の話です.

線形代数の問題で,「基底~及び基底~についての\(T\)の表現行列を求めよ」的な問題をやった覚えがあります.

しかし,当時あまり真面目でなかった私にとって表現行列って結局何のかわからず,解法だけ覚えてよくわかっていなかったという一番良くないことをしてました.

定義がかなり形式的に書かれているので,頭の悪い私にとっては当時理解できなかった記憶があります.

まぁ、私の頭悪い自慢はいいのですが,最近久しぶりに線形代数の教科書をみたときにこのような問題があったので,昔よりほんの少しだけ賢くなった私が表現行列のお話をしたいと思います.

さて,結論から言ってしまうと線形写像\(T\)が\(V\)から\(W\)への最短ルートなら,表現行列というのはある意味遠回りをして\(V\)から\(W\)に行くような第2のルートをつなぐ橋です.

まず,任意に\(v\in V\)をとります.このとき,\(V\)の基底があるので,ある複素数\(a_1\cdots a_n\)が一意的に存在して,\[v=\sum_{i=1}^na_iv_i\]とかけます.

同様に,\(T(v)\)も\(W\)の基底を用いて,\[T(v)=\sum_{j=1}^mb_jw_j\]と表すことができます.

さて,\(v\)が数ベクトルならかなり話は早いですが,一般にはそうではありませんので,このままでは話が進みません.

なので,数ベクトルじゃないのならしてしまえばいいということになるので,つぎのような写像を考えます:

\[\forall v\in V,\ \phi(v)={}^t\!(a_1,\cdots a_n)\]と定義します.(\(t\)転置行列を表します.ようは縦ベクトルってことですね)

このベクトルに対する係数は一意なのでこの定義はwell-definedになります.

さて,このように定義すると実は同型写像になります.つまり,\(\mathbb{C}^n\)の話に落とし込むことに成功したわけです.

やはり同様にして,\[\forall w\in W,\ \psi(w)={}^t\!(b_1,\cdots b_m)\]と定義すると同型写像になります.

ここまでくれば話は簡単で,\(a_1\)から\(a_n\)と\(b_1\)から\(b_m\)の間になんか関係があればいいなぁという感じです.

さて,実はまだ\(T\)で写してないベクトルがあります.それは\(V\)の基底です.こいつらを今度は写したいと思います.

そうすると,各\(T(v_i)\)はやはり,\(W\)の元ですから,\[T(v_i)=\sum_{j=1}^mc^i_jw_j\]と表すことができます.

さらに,\(T\)は線形写像なので,上のように表されている\(v\)は\[T(v)=T(\sum^n_{i=1}a_iv_i)=\sum^n_{i=1}a_if(v_i)\]となるので,さっきのと合わせれば

\[T(v)=\sum_{i=1}^na_i\Bigl(\sum_{j=1}^mc_j^iw_j\Bigr)=\sum_{j=1}^m\Bigl(\sum_{i=1}^na_ic_j^i\Bigr)w_j\]

と表すことができます.さて,ここで思い出して欲しいのは,係数は一意だったことです.これにより,

\[\left( \begin{array}{ccc} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} \sum_{i=1}^na_ic^i_1\\ \vdots\\ \sum_{i=1}^na_ic^i_m \end{array} \right)\]

となるので,これは行列の計算の定義から,

\[\left( \begin{array}{ccc} c^1_1\cdots c^n_1 \\ \vdots\\ c^1_m\cdots c^n_m \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc} a_1\\ \vdots\\ a_n \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right)\]

ということで、実はここで現れる行列を\(A\)と表すとしたようなルートの途中にあります.

\[\begin{CD} V @>T>> W \\ @VV{\mathop\phi}V @AAA{\mathop\psi}^{-1} \\ \mathbb{C}^n @>A>> \mathbb{C}^m \end{CD}\]

つまり上の図のように遠回りに\(W\)に写す際の橋になるのがこの行列だったわけですね.

従って,\(T\)は間接的に行列で表されることになります.さてこのように作った行列は上の表現行列の定義を満たします.

ちなみにですが,表現行列だったら上の図の話が成り立つので,結局このようにとったものが表現行列というわけですね.

つまり表現行列はこの橋の役割をしていたわけで、しかも\(\phi,\ \psi\)は同型だったので,結局のところ線形写像を調べるにはこの表現行列を調べる方が手っ取り早いというわけです.

ということで,今回は懐かしの線形代数の話でした.正直間違いがないか心配です.それではまた.

掛け算作用素の話をしたかった その3

前回は掛け算作用素を定義しました.

Review\(|F(x)|\)がa.e有限な\(\mathbb{R}^N\)上のボレル可測関数\(F\)とする.このとき,\(L(\mathbb{R}^N)\)から自身への線形作用素\(M_F\)を\[\forall f\in L^2(\mathbb{R}^N),(M_Ff)(x)=F(x)f(x)\ a.e.x\]と定義する.ただし,\(F\)が\(\exists M>0;\ \sup|F(x)|\leq M\ a.e\)ならば,\(D(M_F)=L^2(\mathbb{R}^N)\),そうでないならば\(D(M_F)=\{f\ ;\|Ff\|_L^2<\infty\}\)とする.

そしてこの掛け算作用素の関数\(F\)が本質的に有界であるときは,\(M_F\in\mathbb{B}(L^2(\mathbb{R^N}),L^2(\mathbb{R^N}))\)となることをみました.

従って,今回は\(F\)が本質的に有界でない場合にどのような性質があるかについて述べます.

今回は測度論を割と使うので,まぁその辺の議論が好きかそうでもないかでだいぶ面白さは変わってくるとは思います.

では早速ですが、やっていきましょう.

propsition\(F\)が本質的に有界でないとき,次が成り立つ:
    \((1)\ D(M_F)\neq L^2(\mathbb{R}^N)\).
    \((2)\ M_F\)はdensely definedな線形作用素.

Proof

証明ですが,(1)がほとんど全てです.これが結構長いのでまぁ頑張りましょう.

要するに\(D(M_F)\)にはない関数が見つかれば良いわけですが,現実にはそれを構成しなければならないので、まず任意の自然数\(n\)に対して,

\[S_n=\{x\in\mathbb{R}^N\ ; n\leq\mid F(x)\mid < n+1\}\]と定義します.

これは異なる二つの自然数\(i,j\)に対して,\(S_i\neq S_j\)です.

さて,今\(F\)がa.e有限であることから, \[\mu(\cap_{n\in\mathbb{N}}S_n^c)=0\]となります.

実際\(S_n^c=\Omega(\mid F\mid<n)\cup\Omega(\mid F\mid\geq n+1)\)であるから,

\[\cap_{n\in\mathbb{N}}S_n^c=\Omega(\mid F\mid =\infty)\]

となり,a.e有限から,上の式がでます.

さて,ここから,\(\mu(\cup_{h\in\mathbb{N}}S_n)=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(S_n)>0\) となります.

よって、今\(F\)が本質的に有界でないので、\(\mu(S_n)>0\)なる自然数\(n\)は無限個存在します.(ただし、無限大に発散する場合も含む)

なぜならば、有限個しか存在しないと仮定すると,その自然数の最大値\(M\)をとれば,\(M\)が\(F\)の本質的上界になってしまうからです.

よってこのような自然数の列を\(\{n(k)\}_{k\in\mathbb{N}}\)としておきます.

さて、上の測度はまだ発散する場合があるので、ここで有限値に収まるように工夫をします.

\(\mathbb{R}^N\)はσ-有限である,すなわち

\[\forall m\in\mathbb{N},0<\mu(K_m)<\infty,\bigcup_{m\in\mathbb{N}}K_m=\mathbb{R}^N\]となる\(\{K_m\}\)が存在します.

今,\[\mu(S_{n(k)})=\mu(\bigcup_{m\in\mathbb{N}}K_m\cap S_{n(k)})\]であるので、任意の\(k\)に対して,\(\mu(S_{n(k)}\cap K_{m(k)})>0\)なる自然数\(m(k)\)が存在します.

ここで,関数\(g\)を次のように定義します:

\[\begin{equation} g(x)= \left \{ \begin{array}{l} \Bigl(n(k)\sqrt{\mu(S_{n(k)}\cap K_{m(k)})}\Bigr)^{-1}\  (\forall k,\ x\in S_{n(k)}\cap K_{m(k)}) \\ 0 ({\rm Otherwise)} \end{array} \right. \end{equation}\]

このとき,\[\|g\|_{L^2}^2=\sum_{k=1}^{\infty}\int_{S_{n(k)}\cap K_{m(k)}}\mid g(x)\mid^2\ dx=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n(k)^2}\leq\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}<\infty\]

というガバガバ評価により,\(L^2\)の元であることがわかります.その一方で,

\[\|M_Fg\|_{L^2}^2=\int_{\cup_{k=1}^MS_{n(k)}\cap K_{m(k)}}\mid F(x)g(x)\mid^2\ dx\leq\int_{\cup_{k=1}^MS_{n(k)}\cap K_{m(k)}}\mid|n(k)\mid^2\mid g(x)\mid^2\ dx=\sum_{k=1}^Mn(k)^2\times\frac{1}{n(k)^2}=M\to \infty\ (as\ M\to \infty)\]

従って,(1)が示されました.

次に(2)を示します.まず,\(D_M=\cup_{n=1}^MS_n\)とおき,\(\forall f\in L^2(\mathbb{R}^N)\)に対して,\[f_M(x)=I_{D_M}(x)f(x)\]とします.ただし,\(I_A\)は\(A\)の定義関数を表します.

このとき,\(f_M\)は明らかに定義域に入っていて,\[\|f_M-f\|_{L^2}^2=\sum_{n=M+1}^{\infty}\int_{S_n}\mid f(x)\mid^2\ dx\to 0\ (as\ M\to\infty)\]より,\(D(M_F)\)は稠密であることがわかります.

最後に(3)は各\(k\)に対して,\(B_k=S_{n(k)}\cap L_{m(k)}\)として,\[f_k(x)=\frac{I_{B_k}(x)}{\sqrt{\mu(B_k)}}\]と定義すると\(\|f_k\|_{L^2}=1,f_k\in L^2\)であって,

\[\| M_Ff_k\|_{L^2}=\Bigl(\int_{B_k}\frac{\mid F(x)\mid^2}{\mu(B_k)}\ dx\Bigr)^{\frac{1}{2}}>n(k)\to\infty\ (as\ k\to\infty)\]より,非有界作用素であることもわかります. \(\Box\)

こんな感じで、本質的に有界でない時でも結構面白いことがあったりします.すごくシンプルですが面白い作用素だと思います.

今回はこれで終わります.ありがとうございました.

掛け算作用素の話をしたかった(準備その2)

書いたはいいけど存在忘れそう.

今回は線形作用素について必要最低限述べて行こうと思います.

線形作用素という文字だけ見るとなんか難しそうかもしれませんが別にたいしたことないです.

ここではヒルベルト空間に限っておきますが,別にBanach空間でも変わりません.

Definition\(H,\ K\)をヒルベルト空間とし,\(D\)を\(H\)の部分空間とする.

\(T\colon H\to K\)が\(H\)上の線形作用素(linear operator)であるとは,\[\forall u,v\in D,\forall \alpha,\beta\in\mathbb{C},T(\alpha u+\beta v)=\alpha Tu+\beta Tv\]が成り立つことである.また\(D\)を\(T\)の定義域(domain)といい,\(D=D(T)\)で表す.

ここで注意しておかなければならないのは,作用素の定義には定義域も含まれるということです.なにを当たり前なことを私も最初は思いましたが,これは意外と大事で間違いを起こしやすいので気をつけましょう.

つまり、二つの作用素が同じということは定義域とその各点での値がともに一致する必要があるということですね.

ところで,線形作用素の連続性と有界性や作用素ノルムについては少し触れる必要がありますね.

以下,\(H,K\)は特に断らない限りヒルベルト空間とします.

Definition線形作用素\(T\colon H\to K\)が連続であるとは,\(D(T)\)内の収束列で,その極限\(x\)が\(D(T)\)に属すような点列\(\{x_n\}\)に対して,\[\|Tx_n-Tx\|_K\to 0\ (as\ n\to \infty)\]が成り立つことである.

次に有界性についてです.

Definition線形作用素\(T\colon H\to K\)が有界であるとは,\[\exists M.0;\ \forall u\in D(T),\ \|Tu\|_K\leq M\|x\|_H\]が成り立つことである.

線形作用素では上の二つは結局のところ同値であることはコメントしておきます.(証明はわりと簡単です.)

また、有限次元の空間上の線形作用素はすべて有界作用素なので、非有界作用素は無限次元空間で考えなければ意味がありません.

ここでDensely Definedについて話しておきましょう.

Definition作用素\(T\colon H\to K\)の定義域\(D(T)\)が\(H\)で稠密であるとき,\(T\)は稠密に定義された(densely defined) 作用素という.

さて、densely definedな有界作用素は次のようなことが成り立ちます.

propsition作用素\(T\colon H\to K\)をdensely definedな有界線形作用素とする.このとき,有界線形作用素\(\overline{T}\colon H\to K\)がただ一つ存在して,\(\forall u\in D(T), Tu=\overline{T}u\)かつ,\(D(\overline{T})=H\)が成り立つ.

証明は任意の\(u\in H\)に対して,\(u_n\to u\ (as\ n\to\infty)\)なるものをとって,\(\overline{T}u=\lim_{n\to\infty}Tu_n\)とすれば良いです.

この定理により,densely definedな有界作用素では結局のところ定義域は空間そのものだと思って良いことになります.

このように\(T\colon H\to K\)が有界線形作用素で,\(D(T)=H\)となるもの全体を\(\mathbb{B}(H,K)\)と書く事にします.

ここでこの\(\mathbb{B}(H,K)\)は自然な和とスカラー倍について\(\mathbb{C}\)ベクトル空間となり,また次のノルムについて完備であることがわかります.

propsition\(T\in\mathbb{B}(H,K)\)に対して,\[\|T\|=\inf\{M\ ;\ \|Tu\|_K\leq M\|u\|_H\}\]と定義すると,\(\mathbb{B}(H,K)\)上のノルムとなり,このノルムに関して完備である.

また、このノルムは\[\|T\|=\sup_{u\neq 0}\frac{\|Tu\|}{\|u\|}\]と表すこともできます.

さらに定義から明らかに,\(\|Tu\|\leq\|T\|\|u\|_H\)が成り立ちます.

ここでようやっと掛け算作用素が定義できます.

Definition\(|F(x)|\)がa.e有限な\(\mathbb{R}^N\)上のボレル可測関数\(F\)とする.このとき,\(L(\mathbb{R}^N)\)から自身への線形作用素\(M_F\)を\[\forall f\in L^2(\mathbb{R}^N),(M_Ff)(x)=F(x)f(x)\ a.e.x\]と定義する.ただし,\(F\)が\(\exists M>0;\ \sup|F(x)|\leq M\ a.e\)ならば,\(D(M_F)=L^2(\mathbb{R}^N)\),そうでないならば\(D(M_F)=\{f\ ;\|Ff\|_L^2<\infty\}\)とする.

\(\exists M>0;\ \sup|F(x)|\leq M\ a.e\)が成り立つような\(M\)を本質的な上限といって,その\(\inf\)を本質的な上限といって,\({\rm ess}.\sup|f(x)|=\|f\|_{\infty}\)と表します.

また本質的上限が有限値のとき,その関数は本質的に有界であると言います.

今簡単な計算から,\(\|M_Ff\|_L^2\leq \|F\|_{\infty}\|f\|_L^2\)なので,本質的に有界ならば,\(M_Ff\)もまた\(L^2\)に入ります.

従って,関数\(F\)が本質的に有界ならば,掛け算作用素は\(D(M_F)=L^2\)であるような有界線形作用素です.

では本質的に有界でない場合はどうなるのか?というのは次回お話するとしましょう.

次回は掛け算作用素の性質についてです.

掛け算作用素の話をしたかった

掛け算作用素の話をしたい

ブログすらかく暇なかった(言い訳).

今回から掛け算作用素とかいうシンプルだけど割と大事な作用素を扱ってみたいと思います.

コイツの話は結構Lebesgue積分の復習にもなるのでお得だと思うので,暇なら読んでみてください.

ところで作用素云々の前に\(L^p\)については定義する必要があるのでそこからいきましょう.

Definition\(1\leq p<\infty\)とし,\ \(\Omega\subset\mathbb{R}^N\)を開集合とするとき,\[L^p(\Omega)=\{f\colon\Omega\to \mathbb{C}\ ;\ \int_{\Omega}\mid f(x)\mid^p dx<\infty\}\]と定義する.ただし, 上の積分はLebesgue測度に関する積分で,\(f=0\)はLebesgue測度に関してほとんどいたるところ\(f=0\)という意味で使う.

念のため一応書いておきますが,Lebesgue測度\(\mu\)に関してほとんどいたるところ\(f=0\)であるとは,\(\mu(N)=0\)なる集合\(N\subset\mathbb{\Omega}\)が存在して,\(\Omega\setminus N \)上\(f=\)となることをいい,\(f=0\ a.e.\mu\)などと書きます.

またこのような集合\(N\)を零集合といいます.

細かいことは抜きにして,この空間は線形ベクトル空間となります.これは\(\ell^p\)と同様に示すことができます.

また次のことが成り立ちます.

proposition\(1\leq p<\infty\)とし,\ \(\Omega\subset\mathbb{R}^N\)を開集合とする.\(f\in L^p(\Omega)\)に対して,\[\|f\|_p=\Bigl(\int_{\Omega}\mid f(x)\mid^p\ dx\Bigr)^{\frac{1}{p}}\]と定義するとこれは\(L^p(\Omega)\)上のノルムであり,このノルムに関して完備となる.

ノルムベクトル空間となるまでは基本的に\(\ell^p\)と同様ですが, 完備性は若干\(\ell^p\)よりは面倒です.本来ならば示すべきですが,証明については関数解析の本には大抵載っているのでそちらを参照する方がわかりやすいでしょう.

ところで,上でさらっとノルムベクトル空間になると言ってしまいましたが,実際は少しだけ注意することがあって

\(\|f\|_p=0\)ならば\(f=0\ a.e.\mu\)となることは自明ではありません.

実際,\(\|f\|_p=0\)ならば,積分範囲を\(\Omega(\mid f\mid>0)=\{x\in\Omega\ ; \mid f(x)\mid >0\},\ \Omega(f=0)=\{x\in\Omega\ ;f(x)=0\}\)に分けて考えると結局\[\|f\|_p^p=\int_{\Omega(\mid f\mid>0)}\mid f(x)\mid^p\ dx=0\]です.

ここで,\(\Omega(\mid f\mid >0)=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Omega(\mid f\mid>\frac{1}{n})\)なので(ただし,\(\Omega(g>a)=\{x\in\Omega\ ; g(x)>a\}\))

\[0=\int_{\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Omega(\mid f\mid >0)}\mid f(x)\mid^p\ dx>\int_{\Omega(\mid f\mid >\frac{1}{n})} \mid f(x)\mid ^p\ dx>\frac{1}{n^p}\mu(\Omega(\mid f\mid >\frac{1}{n}))\]

となり,\(\mu(\Omega(\mid f\mid >\frac{1}{n}))=0\)が任意の\(n\in \mathbb{N}\)に対して成り立って,\[\mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\Omega(\mid f\mid >0))\leq \sum_{n=1}^{\infty}\mu(\Omega(\mid f\mid >\frac{1}{n}))=0\]となって,これは\(f=0\ a.e.\mu\)を意味します.

逆にほとんどいたるところ\(0\)であれば零集合上の積分が\(0\)となることからノルムが\(0\)になることがわかります.

なお一般に\(f\)が連続であれば,真に\(0\)ですが,可積分な関数という条件だけでは真に\(0\)であることは出てきません.

従って,正確には\(p\)上可積分全体をノルムの核で割った商集合を考えて、それ上のノルムであると考えるのが適当ですが、便宜上このように扱うことが多いです.

ところで,このノルムに関して完備になったわけですが,特に\(p=2\)のとき次の内積に関してヒルベルト空間であることがわかります.

proposition\(f,g\in L^2(\Omega)\)に対して,\[(f,g)=\Bigl(\int_{\Omega}f(x)\overline{g(x)}\ dx\Bigl)^{\frac{1}{2}}\]と定めると,\(L^2(\Omega)\)上の内積となり,この内積に関してヒルベルト空間となる.

ここでヒルベルト空間とは内積\((\cdot,\cdot)\)から定まるノルム\(\|\cdot\|=\sqrt{(\cdot,\cdot)}\)に関して完備となる空間のことを言います.

取り急ぎ準備をしたので,もしかしたら不備があるかもしれませんが、大体このくらい言っておけば少し位は話ができるのではないかと思いますので準備を終わります.というか思いのほか疲れたので今回は終わります.

次回は線形作用素の話でもやって、掛け算作用素の話ができたら嬉しい感じです.